设E是集合E的全体聚点所成的点集 x0是E的一个聚点。试证：x0∈E。
全体,
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正确答案：设x0是E"的一个聚点即x0的任一邻域都含有无穷个E的聚点。任给x0的邻域U。(x0；ε)其中有聚点集为{x1x2xn…}则对于U。(xiεi)真包含于(x0；ε)其中有E中的无穷多点则在U。(x0；ε)亦有E中的无穷多点即x0是E的一个聚点则x0∈E"。
设x0是E"的一个聚点,即x0的任一邻域都含有无穷个E的聚点。任给x0的邻域U。(x0；ε),其中有聚点集为{x1,x2,xn,…},则对于U。(xi,εi)真包含于(x0；ε),其中有E中的无穷多点,则在U。(x0；ε)亦有E中的无穷多点,即x0是E的一个聚点,则x0∈E"。