设A B均为n阶实对称矩阵 且A正定.证明：
正定,矩阵
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设A，B均为n阶实对称矩阵，且A正定.证明：
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由A正定，有可逆矩阵Q，使QTAQ=E.由于QTBQ仍为实对称矩阵，所以有正交矩阵R，使RT(QTBQ)R=D=diag(λ1，λ2，…，λn)为对角矩阵，其中λ1，λ2，…，λn为实对称矩阵QTBQ的全部特征值.令P=QR，则因可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，知P为可逆矩阵，且有
PTAP=(QR)TA(QR)=RT(QTAQ)R=RTER=E
PTBP=(QR)TB(QR)=RT(QTBQ)R=D=diag(λ1，λ2，…，λn)$由(1) 可得
A=(PT)-1EP-1=(p-1)Tp-1，
B=(PT)-1DP-1=(P-1)TDP-1，
(其中D为对角矩阵)
令M=P-1，则M可逆，且使A=MTM，B=MTDM，故(2) 得证.