设A B均为n级正定矩阵。证明：AB的特征值均大于零。
设A，B均为n级正定矩阵。证明：AB的特征值均大于零。
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[证法1] 因A正定，故存在可逆矩阵P，使P'AP=E，由B正定，则P-1B(P-1)'正定，故有
P-1B(P-1)'=EP-1(P-1)'=P'APP-1B(P-1)'=P'AB(P')-1.
即AB相似于正定阵P-1B(P-1)'，AB的特征值均大于零。
[证法2] 因A，B均正定，故存在正定矩阵C，D，使A=C2，B=D2，AB=C2D2于是C-1ABC=C-1CCDDC=CDDC=(DC)'DC，即AB与(DC)'DC相似，而(DC)'DC正定(C正定，D正定，DC可逆)，故AB的特征值均大于零。
[证法3] 因B正定，故存在正定矩阵C，使B=C2，于是
AB=AC2=C-1CACC=C-1C'ACC.
即AB与C'AC相似，而A正定，所以C'AC正定，其特征值均大于零，因相似矩阵有相同的特征值，所以AB的特征值大于零。
[证法4] 设λ为AB的任意特征值，则|λE-AB|=0．若λ=0，则|AB|=|A||B|=0，与A，B均为正定阵矛盾，故λ≠0。若λ=-k＜0，则|-kE-AB|=|-A||kA-1+B|=0，因A正定，故|-A|≠0，于是|kA-1+B|=0，而kA-1正定，B正定，有(kA-1+B)正定，于是|kA-1+B|＞0，与|kA-1+B|=0矛盾。故λ不能小于零，故AB的特征值只能大于零．
[证法5] 设λ为AB的任意特征值，X为AB的属于λ的特征向量，则ABX=λX，BX=λA-1X，故有X'BX=λX'A-1X．因A正定，所以A-1正定有X'AX正定，又B正定，故X'BX正定，X'A-1X和X'BX均为正实数，故得λ＞0，所以AB的特征值均大于零。[点评] 注意A，B均为n级正定阵，AB的特征值均大于零，AB不一定是对称阵，故所证明的命题与“若A，B均正定，则AB正定的充要条件是AB=BA”并不相同。这里只需证明AB的特征值均大于零即可，证法1的思路是若A正定，则A与单位阵E合同，相似矩阵有相同的特征值。证法2，证法3的思路是若A正定，则存在正定阵C，使A=C2，以及相似矩阵有相同的特征值。证法4的思路是，AB的任意特征值既不能等于零，又不能小于零，故只能等于零。证法5的证明思路是，若A正定，则A-1正定。