设A是n阶实对称矩阵.证明:A正定的充要条件是A的特征值全大于零.
正定,特征值,矩阵
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正确答案:设二次型XTAX经过正交变换X=TY可使得XTAX=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2其中λ1λ2…λn为A的特征值.由于A为正定的充分必要条件是λ1y12+λ2y22+…+λnyn2正定而后者为正定的充分必要条件是λi>0(i=12…n)得证.
设二次型XTAX经过正交变换X=TY,可使得XTAX=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2,其中λ1,λ2,…,λn为A的特征值.由于A为正定的充分必要条件是λ1y12+λ2y22+…+λnyn2正定,而后者为正定的充分必要条件是λi>0(i=1,2,…,n),得证.
