什么是解对称正定方程组Ax=b的最速下降法和共轭梯度法？
正定,方程组,梯度
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什么是解对称正定方程组Ax=b的最速下降法和共轭梯度法？
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设A=(aij)∈Rn×n是对称正定矩阵，定义二次函数φ：Rn→R
从x(0)发，找一个方向p(0)，令x(1)=x(0)+αp(0))
使
一般地，令
x(k+1)=x(k)+αkp(k)
取p(k)=-▽φ(x(k))=-(Ax(k)-b)=r(k)
x(k+1)=x(k)+αkr(k), k=0,1，…
其中，r(k)=b-Ax(k)为剩余向量．
依该方法计算得到的向量序列{x(k))称为解线性方程组的最速下降法．
若令
p(k)=r(k)+β(k-1)p(k-1)
取，r(0)=b-Ax(0)，p(0)=r(0)，依上式求得α0，x(1)，再求得β0，p(1)，从而得到序列{x(k)}，这就是共轭梯度法(CG方法)．