设有方程组Ax=b 其中A为对称正定阵 迭代公式 xk+1=x(k)+ω(b-Ax(k))(k=0 1 2 …) 试证明当时上述迭代法收敛(
正定,迭代法,方程组
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设有方程组Ax=b,其中A为对称正定阵,迭代公式
xk+1=x(k)+ω(b-Ax(k))(k=0,1,2,…),试证明当0<ω<2/β时上述迭代法收敛(其中0<α≤λ(A)≤β).
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[证明] 迭代公式为
x(k+1)=x(k)+ω(b-Ax(k))
x(k+1)=(I-ωA)x(k)+ωb
因为0<α≤λ(A)≤β
故
λ(I-ωA)=1-ωλ(A)
所以|1-ωλ(A)|<1
即-1<1-ωλ(A)<1
所以矩阵B的谱半径ρ(B)<1故该迭代格式收敛
