证明： 1．lp是可分的 其中1≤p＜∞； 2．l∞是不可分的。
证明题
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1．设M是可数稠密子集。我们可以取M为有理数集；若K=C，我们可以取M是所有形如α+iβ(α，β是有理数)的复数集合。对n=1，2，…，设En是lp中下列Y的集合：
y(j)∈M，j≥1；y(j)=0，j﹥n
则En是可数的，这是因为它和Mn是一一对应的。假设E是可数的，我们将证明E在lp中是稠密的。
设x∈lp，给定的ε＞0，则存在n
固定n，对每一个j，1≤j≤n，在M中选择y(j)使得
|x(j)-y(j)|＜(2n)-1/pε，
且对j﹥n，y(j)=0，
＜n·(2n)-1/P·εp+2-1εp=εp
所以‖x-y‖p﹤ε，得以证明。
2．假设0和1之间的每个实数t都可以表示
其中对所有n，x(n)=0或1，
所以对每个(0，1)中的t，我们能找到满足式(6)的h(t)=x，其中x∈l∞；且能找到E中,的g(x)使得
‖g(x)-x‖∞﹤1/4
设f(t)=g(h(t))，0＜t＜1，若f(t1)=f(t2)，h(t1)=x1和h(t2)=x2，则g(x1)=g(x2)=0，所以
‖x1-x2‖≤‖x1-g(x1)‖∞+‖g(x1)-g(x2)‖∞+‖g(x2)-x2‖∞﹤1/2，
|x1(n)-x2(n)| ≤‖x1-x2‖∞﹤1/2
但是对所有n有x1(n)-x2(n)=0，±1，所以对所有n必须有x1(n)-x2(n)=0。
这就证明了f：(0，1)→E是单射，因为(0，1)是不可数的，所以E一定不可数，因而l∞不可能有可数的稠密子集，这就完成了证明。