设E是赋范线性空间 如果E的对偶空间E*是可分的 则E也是可分的。
对偶,空间,线性
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设E是赋范线性空间，如果E的对偶空间E*是可分的，则E也是可分的。
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设E*是可分的，则单位球面
也包含一稠密子集{fn}，因而fn∈U*，有
依上确界的定义，必可找到‖xn‖=1的点xn∈E，使得令
，因为Y有一可数的稠密子集，即系数的实部与虚部均是有理数的x0的所有线性组合的集合，所以Y是可分的。
现在用反证法证明Y=E。设y≠E，则因为Y是闭的，存在F∈E*，‖F‖=1(为什么?读者可自行证明之)。对于所有的y∈Y有F(y)=0。因为xn∈Y则F(xn)=0，且对于所有的n，有
而‖xn‖=1，所以，导出与{fn}在U*中稠密矛盾。于是Y=E，即E是可分的。