试证明：区间[a b]上的连续函数全体C（[a b])的基数是c．

大学 2020-04-04 05:50:45 连续函数,基数,区间已帮助人

试证明：

区间[a，b]上的连续函数全体C([a，b])的基数是c．

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[证明] 首先，因为[a，b]上的常数函数都是[a，b]上的连续函数，所以R1与C([a，b])中的一个子集对等，即C([a，b])的基数大于或等于c．其次，对每个φ∈C([a，b])，我们取一个平面有理点集Q×Q=Q2中的一个子集与它对应，即作映射f如下：
f(φ)={(s，t)∈Q×Q:s∈[a，b]，t≤φ(s)}．
易知f是从C([a，b])到(Q2)中子集的一个单射，由于(Q2)～(N)，故知(Q2)的基数是c．从而可知C([a，b])的基数小于或等于c．这说明C([a，b])的基数是c．

试证明： 区间[a b]上的连续函数全体C（[a b])的基数是c．