试证明: 设m(E)<∞ {fk(x)}在E上依测度收敛于f(x) {gk(x)}在E上依测度收敛于g(x) 则{fk(x)·gk(x)}在E上依测

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试证明:

  设m(E)<∞,{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x),{gk(x)}在E上依测度收敛于g(x),则{fk(x)·gk(x)}在E上依测度收敛于f(x)·g(x).若m(E)=+∞,则结论不一定真.

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答案解析

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  • [证明] 对任一子列{fki(x)gki(x)},由题设知,存在fkij(x)在E上a.e.收敛于f(x),也存在gkijl(x)在E上a.e.收敛于g(x).从而知fkijl(x)gkijl(x)在E上a.e.收敛于f(x)g(x).这说明命题结论成立.
       在m(E)=+∞时,举例如下:设E=[0,∞),作函数
       
       gn(x)=x(n∈N),
       则fn(x),gn(x)在E上各依测度收敛于f(x)≡0,g(x)≡x.然而[fn(x)+gn(x)]2并不依测度收敛于[f(x)+g(x)]2,fn(x)gn(x)在E上也不依测度收敛于f(x)g(x)=0,这是因为{x∈E:|fn(x)gn(x)|≥1}=[n,∞).