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设A是n阶方阵（n≥2) 证明：|A|*=|A|n－1

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设A是n阶方阵(n≥2)，证明：|A|*=|A|n-1

热搜：n阶方阵a与对角矩阵相似的充要条件

答案解析

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  • [证明]因为AA*=|A|E    ①
       ①式两边取行列式，得：|A||A*|=|A|n
       若|A|≠0，则|A*|=|A|n-1．
       若|A|=0．则|A*|=0，否则，若|A*|≠0，则A*可逆．
       由|A|=0得：①式为AA*=O． ②
       ②式两边同时右乘以(A*)-1，得
       AA*(A*)-1=O。即A=O，从而A*=O，与|A*|≠0矛盾，所以|A*|=0
       即当|A|=0时，|A*|=0，有|A*|=|A|n-1成立．
       综上所述，对n阶方阵A(n≥2)，有|A*|=|A|n-1．