设A=(aij)n×n实对称 且aii>0(i=1 2 … n) 则Jacobi格式收敛的充要条件是A和2D-A都是正定矩阵.

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设A=(aij)n×n实对称,且aii>0(i=1,2,…,n),则Jacobi格式收敛的充要条件是A和2D-A都是正定矩阵.

热搜:n阶矩阵a具有n个不同的特征值是a与对角矩阵相似的

答案解析

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  • 记,,则
       
       即BJ与相似,从而它们有相同的特征值.冉由A的对称性可得
       .
       即的特征值都是实数,从而BJ的特征值都是实数.
       必要性.设Jacobi格式收敛,即ρ(BJ)<1,则
       .
       设实数λ是实对称矩阵的任一特征值,则有
       
       ,
       即实数1-λ是实对称矩阵的特征值,从而有
       |1-λ|<1  或者0<λ<2.
       因此是正定矩阵.由于A与合同,所以A也是正定矩阵.
       再设专的全体特征值为λ1,λ2,…,λn,则存在正交矩阵P,使得
       .
       于是有
       .
       由于2-λi>0(i=1,2,…,n),所以是正定矩阵.
       因为
       
       与合同,所以2D-A也是正定矩阵.
       充分性.设A和2D-A都是正定矩阵,则有
       A正定正定的特征值大于零,
       2D-A正定 正定
       的特征值大于零.
       设μ是BJ的任一特征值,从而也是的特征值,且为实数,则有
       0=det(μI-BJ)=
       
       即1-μ是的特征值,μ+1是的特征值,所以1-μ>0且μ+1>0,即|μ|<1,从而ρ(BJ)<1. 由定理知Jacobi格式收敛.
       证毕.