设A=(aij)n×n实对称 且aii>0(i=1 2 … n) 则Jacobi格式收敛的充要条件是A和2D-A都是正定矩阵.
正定,矩阵,格式
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设A=(aij)n×n实对称,且aii>0(i=1,2,…,n),则Jacobi格式收敛的充要条件是A和2D-A都是正定矩阵.
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记
,
,则
即BJ与相似,从而它们有相同的特征值.冉由A的对称性可得
.
即的特征值都是实数,从而BJ的特征值都是实数.
必要性.设Jacobi格式收敛,即ρ(BJ)<1,则
.
设实数λ是实对称矩阵的任一特征值,则有
,
即实数1-λ是实对称矩阵的特征值,从而有
|1-λ|<1 或者0<λ<2.
因此是正定矩阵.由于A与
合同,所以A也是正定矩阵.
再设专的全体特征值为λ1,λ2,…,λn,则存在正交矩阵P,使得
.
于是有
.
由于2-λi>0(i=1,2,…,n),所以是正定矩阵.
因为
与合同,所以2D-A也是正定矩阵.
充分性.设A和2D-A都是正定矩阵,则有
A正定正定
的特征值大于零,
2D-A正定正定
的特征值大于零.
设μ是BJ的任一特征值,从而也是的特征值,且为实数,则有
0=det(μI-BJ)=
即1-μ是的特征值,μ+1是
的特征值,所以1-μ>0且μ+1>0,即|μ|<1,从而ρ(BJ)<1. 由定理知Jacobi格式收敛.
证毕.
