以n=2为例证明聚点原理:Rn中的有界无限点集至少有一个聚点。

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以n=2为例证明聚点原理:Rn中的有界无限点集至少有一个聚点。

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答案解析

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  • 设A={(xα,yα)∈R2|α∈I,I为实数集}为有界无限点集。则,均为有界无限集,由数集的Weierstrass定理知{xα}必有收敛的子列。不妨设为{xαk},且在{yα}(α∈I)中选取与xαk对应的yαk(即(xαk,yαk)EA)构成数列{yαk},则为有界无限数列,必有收敛的子数列。设为,且又由于与对应的{xαkj}的子列{xαkj}(({xαkj},{yαkj})∈A)也收敛于Xo,从而A中存在收敛于(x0,y0)的点列Aj=({xαkj},{yαkj})