以n=2为例证明聚点原理:Rn中的有界无限点集至少有一个聚点。
原理
已帮助 人
以n=2为例证明聚点原理:Rn中的有界无限点集至少有一个聚点。
-
设A={(xα,yα)∈R2|α∈I,I为实数集}为有界无限点集。则
,
均为有界无限集,由数集的Weierstrass定理知{xα}必有收敛的子列。不妨设为{xαk},且
在{yα}(α∈I)中选取与xαk对应的yαk(即(xαk,yαk)EA)构成数列{yαk},则
为有界无限数列,必有收敛的子数列。设为
,且
又由于与
对应的{xαkj}的子列{xαkj}(({xαkj},{yαkj})∈A)也收敛于Xo,从而A中存在收敛于(x0,y0)的点列Aj=({xαkj},{yαkj})
