举例说明内积空间中完全规范正交系不一定是完备的。
内积,正交,空间
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举例说明内积空间中完全规范正交系不一定是完备的。
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在l2中，记en={0，0，…，0，1，0，…}(1在第n位)，令
由里斯-菲歇尔定理知，f1∈l2。再令
，按照l2的线性运算及内积，
为内积空间，显然
是
中的规范正交系，且
在
中是完全的。事实上，如果
，则根据
定义，存在αk(k=1，2，…，n)使得
x=α1f1+∑k=2nαkek
取m＞n，得到，因此
x=∑k=2nαkek
同样，对于2≤m≤n，有0=(x，em)=αm故x=0，即
在
中完全。但是
‖f1‖2=1+∑k=2∞ek2
则
∑k=2∞|(f1,ek)|≠‖f1‖2
此即
中不完备。