内积空间的正交基一定是正交系 反之不成立.
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在l 2 中，记e n ={0，0，…，0，1，0，…}(1在第n位)，令 由里斯-菲歇尔定理知，f 1 ∈l 2 。再令 ，按照l 2 的线性运算及内积， 为内积空间，显然 是 中的规范正交系，且 在 中是完全的。事实上，如果 ，则根据 定义，存在α k (k=1，2，…，n)使得 x=α 1 f 1 +∑ k=2 n α k e k 取m＞n，得到 ，因此 x=∑ k=2 n α k e k 同样，对于2≤m≤n，有0=(x，e m )=α m 故x=0，即 在 中完全。但是 ‖f 1 ‖ 2 =1+∑ k=2 ∞ ek 2 则 ∑ k=2 ∞ |(f 1 ,e k )|≠‖f 1 ‖ 2 此即 中不完备。