设f是定义在C[a b]上的线性泛函 而且对C[a b]中一切满足x（t)≥0的函数有f（x)≥0。证明f连续。于是进一步证明存
函数,线性,定义
已帮助 人
设f是定义在C[a，b]上的线性泛函，而且对C[a，b]中一切满足x(t)≥0的函数有f(x)≥0。证明f连续。于是进一步证明存在[a，b)]上的单调上升函数ν(t)，使
f(x)=∫abx(t)dν(t)
-
令x0(t)≡1，则对一切x(t)∈C[a，b]，当‖x‖≤1时，有
x0(t)±x(t)≥0，
所以
f(x0±x)≥0，
则
f(x)≤f(x0) (‖x‖≤1)，
故f为C[a，b]上的有界线性泛函，且‖f‖=f(x0)，从而
f(x)=∫abx(t)dν(t)
其中ν(t)为右连续的有界变差函数。下面证明ν(t)为单调上升函数
利用LS积分性质，任取a＜t1＜t2≤b，令
x(t)=χ[t1，t2] ([t1，t2]上的特征函数)，
则xn(t)∈C[a，b]，0≤xn(t)≤1，且xn(t)→x(t)。根据勒贝格控制收敛定理可得
(LS)∫abχ[t1，t2]dν(t)≥0，
即
ν(t2)≥ν(t1)
同理可证
ν(t)≥ν(a)
故ν(t)是[a，b]上的单调上升函数