设E是Hilbert空间H的线性子空间 f是E上的有界线性泛函．证明f有且只有一个到H上的保范延拓使得这个延拓在E⊥

大学 2020-01-31 19:44:27 空间,界线,线性已帮助人

设E是Hilbert空间H的线性子空间，f是E上的有界线性泛函．证明f有且只有一个到H上的保范延拓，使得这个延拓在E^⊥上为零．

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[证明]根据Hahn-Banach定理，存在f到E上的保范延拓F．由于E是Hilbert空间，故按Riesz表示定理，使有F(x)=＜x，y＞，‖F‖=‖y‖=‖f‖，且x∈E有F(x)=＜x，y＞=f(x)．注意到＜x，y＞作为x的函数在整个H上有定义．因为y∈，故x∈E⊥，有F(x)=＜x，y＞=0．对z∈H，由投影定理，有
z=z1+z2，z1∈， z2∈=E⊥， F(z)=＜z1+z2，y＞=F(z1)．因此F是H上的线性泛函且仍有‖F‖=‖y‖=‖f‖，即F是f的到H的保范延拓且在E⊥上为零．下证唯一性．若F0也是这样的延拓，则x∈E有F(x)=F0(z)．设e∈，则]{en}E使en→e(n→∞)．由F(en)=F0(en)及F与F0的连续性得F(e)=F0(e)．h∈H，由投影定理，，上，使h=h1+h2．于是
F(h)=F(h1)+F(h2)=F(h1)=F0(h1)
=F0(h1)+F0(h2)=F0(h)，即F=F0．

设E是Hilbert空间H的线性子空间 f是E上的有界线性泛函．证明f有且只有一个到H上的保范延拓 使得这个延拓在E⊥