设H≠{θ}是Hilbert空间 E是H的闭线性子空间 f是H上的一个非零连续线性泛函．证明E={x：f（x)=0}当且仅当E⊥是维
线性,空间
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设H≠{θ}是Hilbert空间，E是H的闭线性子空间，f是H上的一个非零连续线性泛函．证明E={x：f(x)=0}当且仅当E⊥是维数为1的线性空间．
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[证明]必要性设
为f的零空间．因为f≠θ，由Riesz表示定理，y∈H，y≠θ，使
x∈H有f(x)=(x，y)．于是
E={x∈H：＜x，y＞=0}={y}⊥，
E⊥={y}⊥⊥=(span{y})⊥⊥=span{y)，span{y}的维数为1．
充分性 设E⊥是由非零元z生成的一维子空间．令f(x)=＜x，z＞(x∈H)，则f是H上非零连续线性泛函，且f(x)=0当且仅当x⊥z．于是
E=E⊥⊥={x∈H：x⊥z}={x∈H：f(x)=0}．