设（G *)是偶数阶群 证明在G中必存在非幺元a 使得a*a=e。
偶数,存在
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设(G，*)是偶数阶群，证明在G中必存在非幺元a，使得a*a=e。
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[证明]显然，满足等式a*a=e的元素a是一个以自身为逆元的元素，即a=a-1
对于G中元素g，如果g*g≠e，即g≠g-1，那么g和其逆元g-1应成对地在G中出现，所以在G中满足条件g≠g-1的元素有偶数个；由于G是偶数阶群，所以G中有偶数个元素，由此可知，G中以自身为逆元的元素(即a=a-1)也有偶数个。易知，幺元e是以自身为逆元的元素，所以除幺元外，G中至少有一个元素a是以自身为逆元，即G中存在元素a，a≠e且a*a=e。