设f（x)为区间I上严格凸函数 证明：若x0∈I为f（x)的极小值点 则x0为f（x)在I上唯一的极小值点。
区间,函数,正确答案
已帮助 人
设f(x)为区间I上严格凸函数，证明：若x0∈I为f(x)的极小值点，则x0为f(x)在I上唯一的极小值点。
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
-
正确答案：若f(x)有异于x0的另一极小值点x1∈I不妨设f(x1)≤f(x0)由于f(x)是I上的严格凸函数对于任何λ∈(01)都有f(λx0+(1-λ)x1)＜λf(x0)+(1-λ)f(x1)≤f(x0)。 于是?δ＞0只要λ充分接近1时总有x=λx0+(1-λ)x1∈U。(x0；δ)∩I。 但是f(x)＜f(x0)这与x0是f(x)在I上的极小值点的条件矛盾于是x0是f(x)在I上唯一的极小值点。
若f(x)有异于x0的另一极小值点,x1∈I,不妨设f(x1)≤f(x0),由于f(x)是I上的严格凸函数,对于任何λ∈(0,1),都有f(λx0+(1-λ)x1)＜λf(x0)+(1-λ)f(x1)≤f(x0)。于是?δ＞0,只要λ充分接近1时,总有x=λx0+(1-λ)x1∈U。(x0；δ)∩I。但是f(x)＜f(x0),这与x0是f(x)在I上的极小值点的条件矛盾,于是x0是f(x)在I上唯一的极小值点。