设T是线性空间V上的线性变换 如果Tk-1(ξ)≠0 但Tk(ξ)=0.求证ξ T(ξ) … Tk-1(ξ)(k>0)线性无关.
线性,空间,正确答案
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设T是线性空间V上的线性变换,如果Tk-1(ξ)≠0,但Tk(ξ)=0.求证ξ,T(ξ),…, Tk-1(ξ)(k>0)线性无关.
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正确答案:(1)当k=1时k-1=0此时只有一个向量ξ显然线性无关. (2)当k>1时设有t0t2…tk-1使得t0ξ+t1T(ξ)+t2T2(ξ)+…+tk-1Tk-1(ξ)=0对上式两边同时作用Tk-1得t0Tk-1(ξ)+t1Tk(ξ)+t2TTk(ξ)+…+tk-1Tk-2Tk(ξ)=0.由Tk-1(ξ)≠0Tk(ξ)=0得t0=0代入(*)式得t1T(ξ)+t2T2(ξ)+…+tk-1Tk-1(ξ)=0.再对上式两边作用Tk-2可得t1=0这样一直继续下去最后可得ti=0i=01…k-1.故ξT(ξ)…Tk-1(ξ)线性无关.
(1)当k=1时,k-1=0,此时只有一个向量ξ,显然线性无关.(2)当k>1时,设有t0,t2,…,tk-1使得t0ξ+t1T(ξ)+t2T2(ξ)+…+tk-1Tk-1(ξ)=0,对上式两边同时作用Tk-1得t0Tk-1(ξ)+t1Tk(ξ)+t2TTk(ξ)+…+tk-1Tk-2Tk(ξ)=0.由Tk-1(ξ)≠0,Tk(ξ)=0,得t0=0,代入(*)式得t1T(ξ)+t2T2(ξ)+…+tk-1Tk-1(ξ)=0.再对上式两边作用Tk-2可得t1=0,这样一直继续下去,最后可得ti=0,i=0,1,…,k-1.故ξ,T(ξ),…,Tk-1(ξ)线性无关.
