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设由向量α1=（0 1 2) α2=（1 3 5) α3=（2 1 0)生成的向量空间为V1；由向量β1=（1 2 3) β2=（－1 0 1)生成的向量空

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设由向量α1=(0，1，2)，α2=(1，3，5)，α3=(2，1，0)生成的向量空间为V1；由向量β1=(1，2，3)，β2=(-1，0，1)生成的向量空间为V2.试证：V1=V2.

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答案解析

难度★★☆ 搜索

  • 证 显然，latex.action?latex=Vl97MX1cc3Vic2V0ZXEgVl97Mn0%3D当且仅当向量组α1，α2，α3可由向量组β1，β2线性表出；latex.action?latex=Vl97Mn1cc3Vic2V0ZXEgVl97MX0%3D当且仅当向量组β1，β2可由向量组α1，α2，α3线性表出.故V1=V2当且仅当向量组α1，α2，α3与向量组β1，β2等价.
       我们利用矩阵初等行变换前后的行向量组必等价，来证明α1，α2，α3与β1，β2等价.令矩阵
       latex.action?latex=QT1cbGVmdFtcYmVnaW57YXJyYXl9e2N9ICBcYWxwaGFfezF9XFwgICBcYWxwaGFfezJ9XFwgICBc%0D%0AYWxwaGFfezN9ICBcZW5ke2FycmF5fVxyaWdodF3vvIxCPVxsZWZ0W1xiZWdpbnthcnJheX17Y30g%0D%0AIFxiZXRhIF97MX1cXCAgIFxiZXRhIF97Mn0gIFxlbmR7YXJyYXl9XHJpZ2h0XQ%3D%3D
       对矩阵A，B作初等行变换
           latex.action?latex=QT1cbGVmdFtcYmVnaW57YXJyYXl9e2NjY30gIDAgJiAxICYgMlxcICAgMSAmIDMgJiA1XFwgICAy%0D%0AICYgMSAmIDAgIFxlbmR7YXJyYXl9XHJpZ2h0XVxyaWdodGFycm93IFxsZWZ0W1xiZWdpbnthcnJh%0D%0AeX17Y2NjfSAgMSAmIDMgJiA1XFwgICAwICYgMSAmIDJcXCAgIDAgJiAtNSAmIC0xMCAgXGVuZHth%0D%0AcnJheX1ccmlnaHRdXHJpZ2h0YXJyb3cgXGxlZnRbXGJlZ2lue2FycmF5fXtjY2N9ICAxICYgMyAm%0D%0AIDVcXCAgIDAgJiAxICYgMlxcICAgMCAmIDAgJiAwICBcZW5ke2FycmF5fVxyaWdodF1cdW5kZXJs%0D%0AaW5lXHVuZGVybGluZXvorrDkuLp9QV97MX0%3D
       latex.action?latex=Qj1cbGVmdFtcYmVnaW57YXJyYXl9e2NjY30gIDEgJiAyICYgM1xcICAgLTEgJiAwICYgMSAgXGVu%0D%0AZHthcnJheX1ccmlnaHRdXHJpZ2h0YXJyb3dcbGVmdFtcYmVnaW57YXJyYXl9e2NjY30gIDEgJiAy%0D%0AICYgM1xcICAgLTEgJiAwICYgMSAgXGVuZHthcnJheX1ccmlnaHRdXHJpZ2h0YXJyb3cgXGxlZnRb%0D%0AXGJlZ2lue2FycmF5fXtjY2N9ICAxICYgMiAmIDNcXCAgIDAgJiAyICYgNCAgXGVuZHthcnJheX1c%0D%0AcmlnaHRdXHJpZ2h0YXJyb3cgXGxlZnRbXGJlZ2lue2FycmF5fXtjY2N9ICAxICYgMyAmIDVcXCAg%0D%0AIDAgJiAxICYgMiAgXGVuZHthcnJheX1ccmlnaHRdXHVuZGVybGluZVx1bmRlcmxpbmV76K6w5Li6%0D%0AfUJfezF9
       显然A1与B1的行向量组等价，故A与B的行向量组等价，即向量组α1，α2，α3与向量组β1，β2等价，从而有V1=V2.如果利用定义证明α1，α2，α3与β1，β2等价，就要证明αi可由β1，β2线性表出(i=1，2，3)，并且βj也可由α1，α2，α3线性表出(j=1，2)，这就要解一些线性方程组.显然，利用行(列)等价矩阵来证明两个行(列)向量组等价比较简单.