若A是n 阶可逆实反对称矩阵 α是n元非零实列向量 β=Aα 则（).
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若A是n 阶可逆实反对称矩阵，α是n元非零实列向量，β=Aα，则（).
A．α与β线性无关
B．α与β正交
C．对于任意的实数 k 都有‖α+kβ‖≥‖α‖
D．α与β线性相关
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由4-15题知实反对称矩阵A的特征值为0或纯虚数，故-1不是A的特征值，即|-E-A|=(-1) n |E+A|≠0，从而有|E+A|≠0，故E+A为可逆矩阵，于是知(E+A) T =E T +A T =E-A亦为可逆矩阵.$因为A T =-A，所以 BB T =(E-A)(E+A) -1 {(E-A)(E+A) -1 } T =(E-A)(E+A) -1 [(E+A) -1 ] T (E-A) T =(E-A)(E+A) -1 [(E+A) T ] -1 (E-A T ) =(E-A)(E+A) -1 (E-A) -1 (E+A) (4-21) 从(4-21)式可见，要证明实方阵B为正交矩阵，即证明BB T =E，只要能证明 (E-A) -1 (E+A)=(E+A)(E-A) -1 (4-22)即可(因为将(4-22)式代入(4-21)式便可得BB T =E).用E-A左乘(4-22)式两端，并用(E-A)右乘(4-22)式两端，得 (E+A)(E-A)=(E-A)(E+A) (4-23) 如果用(E-A) -1 分别左乘和右乘(4-23)式两端，又可得(4-22)式，故(4-22)式与(4-23)式等价.因此，要证明(4-22)式成立，只要证明(4-23)式成立.易知(4-23‘)式两端都等于E-A 2 ，故(4-23)式成立，于是本题得证.