已知物体中某点在x和y轴正应力分量为σx=35MPa σy=25 MPa。沿z方向的应变被完全限制 试求σz和εx和ε
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1．先求出斜截面外法线的方向余弦为： 再由下式计算斜截面的全应力沿坐标轴的3个应力分量： 2．求出该平面外法线的方向余弦为： 求此平面上的全应力沿坐标轴的三个投影分量： 该平面上的正应力为： 全应力大小为： 剪应力大小为： 3．先求3个应力不变量： I 1 =σ x +σ y +σ z =30MPa I 2 =(σ x σ y +σ y σ z +σ z σ x )-(τ xy 2 +τ yz 2 +τ zx 2 )=-600[MPa] 2 I 3 =σ x σ y σ z -σ x τ yz 2 -σ y τ xz 2 -σ z τ xy 2 +2τ xy τ yz τ zx =-8000[MPa] 3 将3个应力不变量代入应力状态的特征方程σ 3 -I 1 σ 2 +I 2 σ-I 3 =0，即： σ 3 -30σ 2 -600σ+8000=0 通过验算可知，σ=10MPa是其中一个主应力，故上式可变为： (σ-10)(σ 2 -20σ-800)=0 从而，可求得另外两个主应力为： σ=-20MPa，σ=40MPa 故3个主应力大小为： σ 1 =40MPa，σ 2 =10MPa，σ 3 =-20MPa 下面，求第一个主应力σ 1 相应的方向余弦： 先联立上式第一、第二两式，可得： 将其代入第三式，可得 从而，可得 故第一个主应力σ 1 相应的方向余弦为：