【判断题】设R和S是集合A上的等价关系 则R∪S一定是等价关系。()
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(必要性)若 是等价关系,则对 (x,y)∈ .因为 是对称的,所以(y,x)∈ .于是 z∈A,(y,z)∈R∧(z,x)∈S.而R、S是A上的等价关系,满足对称性,所以,(x,z)∈S∧(z,y)∈R,从而(x,y)∈ .由x、y的任意性,有 .同理 成立.故有 = . (充分性)若 ,则 x∈A,因为R、S是等价关系,所以,(x,x)∈R,(x,x)∈S.故(x,x)∈ ,从而 是自反的. 因为R、S是等价关系,所以,R c =R,S c =S.故有 ,因而 是对称的. 因为R、S是可传递的,所以R 2 R,S 2 S. 于是对 ,有 所以 ,所以 是可传递的. 综上所述, 是A的等价关系.

