试证阶为偶数的循环群中周期（阶)为2的元素个数一定是奇数．
奇数,偶数,周期
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试证阶为偶数的循环群中周期(阶)为2的元素个数一定是奇数．
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设(G，m)是阶为n的循环群，即|G|=n(n是偶数)．任取a∈G，an=e(m＞2)，a的阶为m，a的逆元素a-1G，故
，由群的性质，知a-1的阶也是m，则必定有a≠a-1
反证法，若a=a-1，则a2=e，所以a的阶不大于2，这与m＞2矛盾，所以有a≠a-1，即当a的阶大于2时，a与它的逆元素总是成对出现的．
又因为群中唯一的单位元素e的阶为1，此时阶大于2的元素个数是偶数，加上单位元e,个数为奇数了，剩下那些阶为2的元素的个数必须为奇数，才能满足所给条件n是偶数．得证．