在l上定义算子T如下：y=Tx 其中 x={ξn} y={ηn}；η1=0 ηk=－ξk－1（k≥2) 证明：T没有特征值ρ（T)由一切满足|λ|＞1
特征值,算子,定义
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在l上定义算子T如下：y=Tx，其中
x={ξn}，y={ηn}；η1=0，ηk=-ξk-1(k≥2)
证明：T没有特征值ρ(T)由一切满足|λ|＞1的点组成，且
‖R(λ，T)‖=(λ-1)-1
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(1)因为
λ≠0时，必有0=ξ1=ξ2=…λ=0时，显然有x=0。故λ为任何数，均有x=0，即T没有特征值。
(2)|λ|＞1时，因为‖T‖=1，则有λ∈ρ(T)，且‖Rλ‖≤(|λ|-1)-1
(3)|λ|＜1时，
‖(λ-T)x‖=|λ|·|ξ1|+|ξ2|+|ξ1|+…
≥|ξ1|-|λ|·|ξ1|+|ξ2|-|λ|·|ξ2|+…
=(1-|λ|)|∑k=1∞ξk|
因为1-|λ|＞0，故(λ-T)-1存在有界，但易知|λ|＜1时，R(Tλ)≠l，所以λ∈σr(t)(剩余谱)，从而
σ(T)={λ‖λ|≤1}，ρ(T)={λ‖λ|＞1}
(4)最后证明
因为
Rλx=∑n=0∞λ-(n+1)Tnx
现取x=(1，0，0，…)，‖x‖=1，则
于是
从而