设{αn}是有界数列 在l中定义算子T:x→y 其中 x={ξn} y={αnξn} 证明T是紧算子的充分必要条件是{αn}→0
算子,数列,定义
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必要性显然成立
充分性:令
Tnx=(α1ξ1,α2ξ2,…,αnξn,…), x=(ξn)∈l,
易知Tn是l中的有穷秩算子,,存在N,使n>N时
|αn|<ε
则n>N时,有
‖(Tn-T)x‖<ε‖x‖,
故T为紧算子
