证明赋范线性空间X上的不连续线性泛函的零空间在X中稠密。
线性,空间
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证明赋范线性空间X上的不连续线性泛函的零空间在X中稠密。
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设f是X上的不连续线性泛函，则f不是有界的。所以对n=1，2，…，存在xn∈X使得‖xn‖≤1且|f(xn)|＞n。设x∈X且f(x)≠0。kn∈K及yn∈Z(f)使得xn=knx+yn,则
f(xn)=knf(x)+f(yn)=knf(x)
所以
n‖xn‖≤n＜|f(xn)|=knf(x)， (3)
特别kn≠0。设，则zn∈Z(f)，
xn=knx-knzn=kn(x-zn)，
由(3)式得
所以，则zn→x。因为zn∈z(f)，所以若f(x)≠0，则有
。另一方面，若f(x)=0，则
。所以，
，这就证明了结论。