设函数列fn(x)在E上测度收敛于f(x) 且几乎处处有 fn(x)≤fn+1(x) n∈N 证明fn(x)几乎处处收敛于f(x)。
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设函数列fn(x)在E上测度收敛于f(x),且几乎处处有
fn(x)≤fn+1(x), n∈N,
证明fn(x)几乎处处收敛于f(x)。
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因为函数列fn(x)测度收敛于f(x),所以存在子函数列fnk(x)几乎处处收敛于f(x)。令

则mA=0。
设E0=E-A,任取x0∈E0,则fn(x0)≤fn+1(x0)对任何n成立,且fnk(x0)→f(x0)
因为{fn(x0)}是单调递增函数列,所以
即在E0上处处有fn(x)收敛于f(x),所以在E上fn(x)几乎处处收敛于f(x)。
