试证:定义在(-∞ ∞)上的单调函数的不连续点集至多可列 因而是零测度集。

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试证:定义在(-∞,∞)上的单调函数的不连续点集至多可列,因而是零测度集。

热搜:函数在开区间连续的定义

答案解析

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  • 先对(-∞,∞)上的递增函数f(x)来证明
       设f(x)在(-∞,∞)上的不连续点的集合为A,由数学分析的知识知:x∈A的充要条件是f(x-0)<f(x+0),且对任意的x1,x2∈A,若x1<x2,则
       f(x1-0)<f(x1+0)≤f(x2-0)<f(x2+0)
       因此对每一个x∈A,对应于直线上一个开区间(f(x-0),f(x+0)),且这些开区间是互不相交的。于是,根据直线上互不相交的开区间至多可列,知A至多为可列集。