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设E是赋范线性空间 L是E真闭子空间证明：L在E中稀疏。

大学 2020-04-02 11:21:27 空间,线性已帮助人

设E是赋范线性空间，L是E真闭子空间，证明：L在E中稀疏。

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答案解析

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反证法假设L不在E中稀疏，即存在E的开集G，
设S(x0，r)是G中一开球，则，从而

此外，由里斯引理，存在y0∈E，‖y0‖=1，使得
，对任意x∈L，
即
，对任意x=∈L，
当x遍取L，也遍取L故而，有矛盾。