设X和Y都是赋范空间 X是有限维空间 证明从X到Y的线性映射都是连续的。
线性,空间
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设X和Y都是赋范空间，X是有限维空间，证明从X到Y的线性映射都是连续的。
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首先证明若f是赋范空间X上的线性泛函且它的零空间Z(f)在X中是闭的，则f是连续的。若f是不连续的，则对n=1，2，…，存在X中的xn使得对所有n有‖xn‖≤1且|f(xn)|＞n。因此对任意n有f(xn)≠0。令
则
所以zn∈Z(f)且zn→x1。所以。但是因为f(x1)≠0，所以
，故若f是不连续的，则Z(f)不是闭的。
假设X是n维赋范空间，{v1，v2，…vn}是X的基。对i=1，2，…n，令定义如下：
则每个fi都是X上的线性泛函。因为，所以Z(fi)是有限维的且是闭的。所以每个fi都连续。
设F：X→Y是线性的。若
则
|ki|=|fi(x)|≤‖fi‖‖x‖，
其中
这就证明了F是连续的。