设X是赋范空间 且X中每个绝对收敛的级数都在X中收敛。证明X是Banach空间。
级数,空间
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设X是赋范空间，且X中每个绝对收敛的级数都在X中收敛。证明X是Banach空间。
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正确为了证明X是完备的，设{xn}是X中的柯西列。设n1是正整数使得对所有n≥n1有
‖xn-xn1‖＜1
取n2，n3,...使得nr＞nr-1，且对所有n≥nr，r=2，3，…，有
则对r=1，2，…有
令
zr=xnr+1-xnr， r=1，2，…，
则
所以∑zr是绝对收敛的。由似设它收敛到X中的某个x。因此当r→∞时
xnr=xn1+z1+…+zr-1→xn1+x
因为{xn}是柯西列，所以给定ε＞0，可找到N使得对n≥N，nr≥N有
取足够大的r，对所有n≥N有
‖xn-xn1-x‖≤‖xn-xnr‖+‖xnr-xn1-x‖＜ε
这就证明了xn→xn1+x。于是也就完成了证明。