试证明对离散信源 R(D=0)=H(X)的充要条件是失真矩阵D的每行中至少有一个0 而在每列中至多有一个0。
信源,矩阵
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试证明对离散信源,R(D=0)=H(X)的充要条件是失真矩阵D的每行中至少有一个0,而在每列中至多有一个0。
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必要性:D=0
,又因为p(xi)>0,p(yj|xi)≥0,d(xi,yj)≥0,所以
若(d(xi,yj))矩阵中某行没有零,则对应的p(yj|xi)全为零,必然存在失真,与D=0矛盾。
若(d(xi,yj))矩阵中某列有超过两个以上的零,则表示有不止一个i使得p(yj|xi)≠0,必然存在失真,与D=0矛盾。
充分性:当D=0即无失真时,i,j一一对应,即。即对应的(d(xi,yj))矩阵中某行必然至少有一个0,而在每列中至多有一个0。
易知
