试证明对离散信源 R(D=0)=H(X)的充要条件是失真矩阵D的每行中至少有一个0 而在每列中至多有一个0。

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试证明对离散信源,R(D=0)=H(X)的充要条件是失真矩阵D的每行中至少有一个0,而在每列中至多有一个0。

热搜:向量组线性无关的充要条件是行列式等于0

答案解析

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  • 必要性:D=0latex.action?latex=XFJpZ2h0YXJyb3cgXHN1bSBfe2lqfV57fXAoeF9pKXAoeV9qfHhfaSlkKHhfaSx5X2opPTA%3D,又因为p(xi)>0,p(yj|xi)≥0,d(xi,yj)≥0,所以
       latex.action?latex=RD0wXFJpZ2h0YXJyb3cgXGZvcmFsbCBpLGoscCh4X2kpcCh5X2p8eF9pKWQoeF9pLHlfaik9MA%3D%3Dlatex.action?latex=XFJpZ2h0YXJyb3cgXGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y31wKHlfanx4X2kpXG5lcSAw5pe277yM%0D%0AZCh4X2kseV9qKT0wXFxwKHlfanx4X2kpPTDml7bvvIxkKHhfaSx5X2op77yeMFxlbmR7YXJyYXl9%0D%0A
       若(d(xi,yj))矩阵中某行没有零,则对应的p(yj|xi)全为零,必然存在失真,与D=0矛盾。
       若(d(xi,yj))矩阵中某列有超过两个以上的零,则表示有不止一个i使得p(yj|xi)≠0,必然存在失真,与D=0矛盾。
       充分性:当D=0即无失真时,i,j一一对应,即latex.action?latex=cCh5X2p8eF9pKT1cZGVsdGEgX3tpan09XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y2N9MSwgJmk9aiBc%0D%0AXDAsICYgaVxuZXEgalxlbmR7YXJyYXl9。即对应的(d(xi,yj))矩阵中某行必然至少有一个0,而在每列中至多有一个0。
       易知latex.action?latex=UihEKVxtaWQgX3tEPTB9PVxzdW0gX3tpan1ee31wKHhfaSlcZGVsdGEgX3tpan1sb2dfMlxmcmFj%0D%0Ae1xkZWx0YSBfe2lqfX17cCh4X2kpfQ%3D%3Dlatex.action?latex=PVxzdW0gX2lee31wKHhfaSlsb2dfMlxmcmFjezF9e3AoeF9pKX09SChYKQ%3D%3D