判断下列变换是否为R3上的线性变换:
线性
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判断下列变换是否为R3上的线性变换:
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设α,β∈R3,k∈R,其中α=(a1,a2,a3)T,β=(b1,b2,b3)T,
σ(α+β)=σ(a1+b1,a2+b2,a3+b3)T
=(2(a1+b1)-(a2+b2),(a2+b2)+(a3+b3),a1+b1)T
=((2a1-a2)+(2b1-b2),(a2+a3)+(b2+b3),a1+b1)T
=σ(α)+σ(β)
σ(kα)=σ(ka1,ka2,ka3)T=(2ka1-ka2,ka2+ka3,Ka1)T
=K(2a1-a2,a2+a3,a1)T=Kσ(α)
因此σ是R3上的一个线性变换.$σ(α+β)=σ(a1+b1,a2+b2,a3+b3)T
=(a1+b1,(a2+b2)2,3(a3+b3))T
而
由于a2,b2为任意实数,则当a2≠0且b2≠0时,有,从而σ(α+β)≠σ(α)+σ(β),因此σ不是R3上的一个线性变换.
