判断下列变换是否为R3上的线性变换:

大学 线性 已帮助 人

判断下列变换是否为R3上的线性变换:

热搜:电压比较器可以将正弦波变换为( )波

答案解析

难度★★☆ 搜索
  • 设α,β∈R3,k∈R,其中α=(a1,a2,a3)T,β=(b1,b2,b3)T,
       σ(α+β)=σ(a1+b1,a2+b2,a3+b3)T
       =(2(a1+b1)-(a2+b2),(a2+b2)+(a3+b3),a1+b1)T
       =((2a1-a2)+(2b1-b2),(a2+a3)+(b2+b3),a1+b1)T
       =σ(α)+σ(β)
       σ(kα)=σ(ka1,ka2,ka3)T=(2ka1-ka2,ka2+ka3,Ka1)T
       =K(2a1-a2,a2+a3,a1)T=Kσ(α)
       因此σ是R3上的一个线性变换.$σ(α+β)=σ(a1+b1,a2+b2,a3+b3)T
       =(a1+b1,(a2+b2)2,3(a3+b3))T
       而latex.action?latex=XHNpZ21hIFxsZWZ0KCBcYWxwaGEgIFxyaWdodCkrXHNpZ21hIFxsZWZ0KCBcYmV0YSAgXHJpZ2h0%0D%0AKT1cbGVmdCggYV97MX0sYV97Mn1eezJ9LDNhX3szfSBccmlnaHQpXntUfStcbGVmdCggYl97MX0s%0D%0AYl97Mn1eezJ9LDNiX3szfSBccmlnaHQpXntUfQ%3D%3Dlatex.action?latex=PVxsZWZ0KCBhX3sxfStiX3sxfSxhX3syfV57Mn0rYl97Mn1eezJ9LDNhX3szfSszYl97M30gXHJp%0D%0AZ2h0KQ%3D%3D
       由于a2,b2为任意实数,则当a2≠0且b2≠0时,有latex.action?latex=XGxlZnQoIGFeezJ9K2JeezJ9IFxyaWdodCleezJ9XG5lcSBhX3syfV57Mn0rYl97Mn1eezJ9,从而σ(α+β)≠σ(α)+σ(β),因此σ不是R3上的一个线性变换.