已知x+y+z=xyz 证明:x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz.

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已知x+y+z=xyz,证明:x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz.

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答案解析

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  • 证明:∵x+y+z=xyz,
    ∴左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)
    =(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2
    =xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)
    =xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)
    =xyz+xyz+xyz+xyz
    =4xyz=右边.
    ∴x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz.