设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子 证明 下列命题等价： （1)P是投影算子； （2)P2=P且P是自
设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子，
证明 下列命题等价：
(1)P是投影算子；
(2)P2=P且P是自共伴算子；
(3)P2=P，且N(P)上R(P)；
(4)若H是复空间，则还等价于
(Px，x)=‖Px‖2，x∈H
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(1)
(2)，由条件，P为从H到E的投影算子，则
Px∈E，故
，有
x=x1+x2， y=y1+y2， x1，y1∈E，x2，y2⊥E，
则
(Px，y)=(x1，y1+y2)=(x1，y1)=(x1+x2，y2)=(x，Py)，
所以，P是自伴的。
(2)，有Px=0；
，有x1∈H，y=Px1。于是
(x，y)=(x，Px1)=(Px，x1)=0，
即
N(P)⊥R(P)
(3)
因为，使得y=Px=P2x所以
(I-P)Px=0，
即
(I-P)y=0，y∈N(I-P)
反之，，有
(I-P)y=0，y=Py∈R(P)，
所以R(P)=N(I-P)，即E=R(P)
Px∈R(P)=E
又
P(I-P)x=P(x-Px)=0
从而
x-Px∈N(P)
由于N(P)⊥R(P)，故
x-Px⊥R(P)=E
所以P是从H到E的投影算子。
考虑H是复希尔伯特空间的情形。
(2)
‖Px‖2=(Px，Px)=(P2x，x)=(Px，x)
(4)
4(Ax，y)=(A(x+y)，x+y)-(A(x-y)，x-y)+i(A(x+iy)，x+iy)-i(A(x-iy)，x-iy)
若
P是自伴的，于是
(P2x，x)=(Px，Px)=(Px，x)， x∈H
令A=P2-P则(Ax，x)=0，x∈H。利用极化恒等式可得
(Ax，y)=0，x，y ∈H
从而A=0，即P2=P，P是幂等的。