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设P1 P2为Hilbert空间H上的正交投影 P=P1＋P2－P1P2。求证：（a)P为正交投影当且仅当P1P2=P2P1 （b)若P1P2=P2P

大学 2021-09-15 11:53:47 正交,空间已帮助人

设P₁，P₂为Hilbert空间H上的正交投影，P=P₁+P₂-P₁P₂。求证：

(a)P为正交投影当且仅当P₁P₂=P₂P₁

(b)若P₁P₂=P₂P₁，则R(P)=R(P₁)+R(P₂)

热搜：正交投影和透视投影区别

答案解析

难度★★☆ 搜索

(a)若P为正交投影，则P*=P，从而
$latex.action?latex=UF97MX0rUF97Mn0tUF97MX1QX3syfT1QX3sxfV57Kn0rUF97Mn1eeyp9LVBfezJ9XnsqfVBfezF9%0D%0AXnsqfT1QX3sxfStQX3syfS1QX3syfVBfezF9$
因此有P1P2=P2P1
反之，若P1P2=P2P1，设P3=P2-P2P1。则
$latex.action?latex=UF97M31QX3sxfT1QX3syfVBfezF9LVBfezJ9UF97MX1eezJ9PTA%3D$
$latex.action?latex=UF97MX1QX3szfT1QX3sxfVBfezJ9LVBfezF9UF97Mn1QX3sxfT1QX3sxfVBfezJ9LVBfezF9Xnsy%0D%0AfVBfezJ9PTA%3D$
$latex.action?latex=UF97Mn1QX3szfT1QX3syfV57Mn0tUF97Mn1eezJ9UF97MX09UF97M30%3D$
由此可知
$latex.action?latex=UF97M31eeyp9UF97M309KFBfezJ9XnsqfS1QX3sxfV57Kn1QX3syfV57Kn0pUF97M309UF97Mn1Q%0D%0AX3szfS1QX3sxfVBfezJ9UF97M309UF97M30tUF97MX1QX3szfT1QX3szfQ%3D%3D$
所以P3为正交投影。从而知P=P1+P3也为正交投影，这是由于P1P3=0=P3P1
(b)设P1P2=P2P1，对x∈H有
P(x)=P1(x)+P2(x)-P1P2(x)=P1(y)+P2(x)，
其中y=x-P2(x)。这说明 $latex.action?latex=UihQKVxzdWJzZXQgUihQX3sxfSkrUihQX3syfSk%3D$
另外，设y1=P1(x1)，y2=P2(x2)，则
Py1=P1y1+P2y1-P1P2(y1)
=P1(P1x1)+P2(P1x1)-P2P1(P1x1)
=P1x1+P2P1x1-P2P1x1=P1x1，
Py2=P1(P2x2)+P2(P2x2)-P1P2(P2x2)
=P1P2x2+P2x2-P1P2x2=P2x2
因此
y1+y2=P1x1+P2x2=P(y1+y2)∈R(P)
这就证明了 $latex.action?latex=UihQX3sxfSkrUihQX3syfSlcc3Vic2V0IFIoUCk%3D$ 。因此有R(P)=R(P1)+R(P2)