证明:巴拿赫空间E为自反的充要条件是E*为自反的
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证明:巴拿赫空间E为自反的充要条件是E*为自反的
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设E自反,任取ψ∈E***,定义f∈E*如下:
f(x)=ψ(J,x)
因为任一r**∈E**,有x∈E,使x**=Jx,则由
ψ(x**)=ψ(Jx)=f(x)=x**f
得ψ=J1f,其中J1为E*→E***。的自然嵌入映射,故E*自反
现设E*完备,则是E**的真闭子空间,由哈恩一巴拿赫定理,必存在ψ∈E***,使
ψ≠0,
因为E*=E***,则ψ=J1f,其中f∈E*,‖ψ‖=‖f‖由于
故
, f=0,
矛盾,从而E必自反
