证明:巴拿赫空间E为自反的充要条件是E*为自反的

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证明:巴拿赫空间E为自反的充要条件是E*为自反的

热搜:弹性模量e是表示物体抵抗什么的能力

答案解析

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  • 设E自反,任取ψ∈E***,定义f∈E*如下:
       f(x)=ψ(J,x)  latex.action?latex=KCBcZm9yYWxsIHhcaW5F77yMSik%3D
       因为任一r**∈E**,有x∈E,使x**=Jx,则由
       ψ(x**)=ψ(Jx)=f(x)=x**f
       得ψ=J1f,其中J1为E*→E***。的自然嵌入映射,故E*自反
       现设E*完备,则latex.action?latex=XGhhdHtFfQ%3D%3D是E**的真闭子空间,由哈恩一巴拿赫定理,必存在ψ∈E***,使
       ψ≠0, latex.action?latex=XHBoaShcYmFye3h9KT0w  latex.action?latex=KFxmb3JhbGwgXGhhdHt4fVxpblxoYXR7RX0p
       因为E*=E***,则ψ=J1f,其中f∈E*,‖ψ‖=‖f‖由于
       latex.action?latex=XHBoaSAoXGhhdHt4fSk9Sl97MX1mKFxoYXR7eH0pPShcaGF0e3h9KShmKT1mKHgp
       故
       latex.action?latex=Zih4KT0wKFxmb3JhbGwgeFxpbkUp,  f=0,
       矛盾,从而E必自反