设A是距离空间X中的一个非空集合. 试证: 1 A的内部是开集 并且是包含于A的最大开集; 2 A的闭包是
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ρ(x,y)显然满足非负性与对称性。当ρ(x,y)=0时, ρ(x,y,)≤ρ(x,z)+ρ(y,z) 成立。 当ρ(x,y)=1时,对任何z∈x,式x≠z与y≠z中至少有一个成立, 从而 ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(y,z) 成立,所以三角不等式成立。 综上知,X是距离空间。

