设T是Hilbert空间H上的有界线性算子 ‖T‖≤1．证明： {x：Tx=x}={x：T*x=x}．
算子,界线,空间
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[证明]方法1 设x∈H使Tx=x．于是〈x，T*x〉=〈Tx，x〉=〈Tx，x〉．即〈x，T*x-x〉=0．由于‖T*‖=‖T‖≤1，故
‖T*x-x‖2=‖(T*x-x)+x‖2-‖x‖2
=‖T*x‖2-‖x‖2
≤(‖T*‖2-1)‖x‖2≤0．因此T*x=x，即{x：Tx=x)(x：T*x=x}．注意到Hilbert空间是自反的，又有{x：T*x=x}
方法2 设x∈H使Tx=x．则由‖T‖=‖T*‖≤1得
‖x‖2=〈Tx，x〉=〈x，T*x〉≤‖T*‖‖x‖2≤‖x‖2． (5.8)
这表明Schwarz不等式等号成立，故必有T*x=ax，a∈．代入(5.8)式得a=1．因此T*x=x．
再设x∈H使T*x=x．则由‖T‖≤1得
‖x‖2=〈T*x，x〉=〈x，Tx〉≤‖T‖2‖x‖2≤‖x‖2． (5.9)这表明Schwarz不等式成立，故必有Tx=bx，b∈