设A为Hilbert空间H上的自伴算子。求证：任取z∈H有＜Ax x＞=0当且仅当A=0
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设A为Hilbert空间H上的自伴算子。求证：任取z∈H有＜Ax,x＞=0当且仅当A=0
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若A=0，则显然有任取x∈H，＜Ax，x＞=0。反之，设任取y∈H有＜Ay，y＞=0若y=x+Ax，则Ay=Ax+A2x，因而
0=＜Ay，y＞=＜Ax+A2x，x+Ax＞=＜Ax，x＞+＜Ax，Ax＞+(A2x，x＞+(A2x，Ax＞
上式最后一行的第一项为0，最后一项也为0，这是由于它可以写成＜Az，z＞，z=Ax。而由于A为自伴的，第三项可以写为＜Ax，Ax＞。故有
0=2＜Ax，Ax＞，x∈H
因此任取x∈H有Ax=0，即A=0