设A为Hilbert空间H上的紧算子 δ＞0。求证： （a)设M为H的线性无关子集 且M中元都是满足k|＞δ的特征值k所对应的
特征值,中元,子集
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设A为Hilbert空间H上的紧算子，δ＞0。求证：
(a)设M为H的线性无关子集，且M中元都是满足k|＞δ的特征值k所对应的特征向量。则M必为有限集。
(b)若k为A的非零特征值，则其对应的特征空间必为有限维的。
(c)A仅有可数个不同的特征值。
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(a)假设M为无穷集，则存在|k|＞δ，存在对应于kn的特征向量xn，使得{xn}为线性无关的。设{un}是从{xn}出发由Gram-Schmiat标准正交化方法得到的H的标准正交序列。令
Fn=span{x1，x2，…，xn}=span(u1，u2，…，un)
若z=c1x1+c2x2+…+cnxn为Fn中任意一元，则
若n＞m，y=A(un)-knun-A(um)。由于，我f门有
A(um)∈Fn-1， A(un)-knun∈Fn-1，
因此y∈Fn-1。从而有nun>=0，所以
‖Aun-Aum‖2-‖y+knun‖2=‖y‖2+‖knun‖2≥|kn|2＞δ2
因此只要n＞m就有‖Aun-Aum‖＞δ，这说明{Aun}不可能有收敛子列。由于{un}为有界序列，这就与A的紧性矛盾。因此(a)成立。
(b)若k为A的非零特征值，其对应的特征空间为无穷维的，则这个特征空间必包含有无穷多个线性无关的向量。若取定δ＞0使得δ＜|k|，则这与(a)矛盾。
(c)假设A有无穷多个不同特征值k1，k2，...使得|kn|＞δ。设Axn=knxn，xn≠0。易证对应于不同特征值的特征向量为线性无关的，故上述假设与(a)矛盾。因此对m=1，2，…
为有限集。由于
所以σe(A)为可数的