设H为Hilbert空间 P1 P2为H上的正交投影。求证: (a)P1P2为正交投影当且仅当P1P2=P2P1 (b)P1+P2为正交投影

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设H为Hilbert空间,P1,P2为H上的正交投影。求证:

  (a)P1P2为正交投影当且仅当P1P2=P2P1

  (b)P1+P2为正交投影当且仅当P1P2=0=P2P1

  (c)P1+P2及P1-P2为正交投影当且仅当P2=0

热搜:基本偏差为r的轴的公差与基准孔H通常形成

答案解析

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  • (a)正交投影均为白伴的且为幂等的,故若P1P2为正交投影,则
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       反之。若P1P2=P2P1,则
       latex.action?latex=KFBfezF9UF97Mn0pXnsqfShQX3sxfVBfezJ9KT0oUF97Mn1eeyp9UF97MX1eeyp9KShQX3sxfVBf%0D%0AezJ9KT1QX3syfVBfezF9UF97MX1QX3syfQ%3D%3D
       =P2P1P2=P1P2P2=P1P2
       因此P1P2为正交投影
       (b)P1+P2为正交投影当且仅当
       latex.action?latex=UF97MX0rUF97Mn09KFBfezF9K1BfezJ9KV57Kn0oUF97MX0rUF97Mn0pPShQX3sxfV57Kn0rUF97%0D%0AMn1eeyp9KShQX3sxfStQX3syfSk%3D
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       =P1+P1P2+P2P1+P2
       因此P1+P2为正交投影当且仅当
       P1P2+P2P1=0    (26)
       若P1P2=0=P2P1,则这显然成立。反之假设(26)式成立,则在(26)式中左乘P2有
       latex.action?latex=UF97Mn1QX3sxfVBfezJ9K1BfezJ9XnsyfVBfezF9PTA%3D    (27)
       在(27)式中右乘P2有
      latex.action?latex=UF97Mn1QX3sxfVBfezJ9XnsyfStQX3syfV57Mn1QX3sxfVBfezJ9PTA%3D,P2P1P2+P2P1P2=0
       因此有P2P1P2=0。这个结果与(27)式一起可以推出P2P1=0。再由(26)式知P1P2=0。
       (c)若P2=0,则P1+P2=P1=P1-P2显然为正交投影。反之,若P1+P2和P1-P2为正交投影,则由(b)知P1P2=0=P2P1。又
       latex.action?latex=UF97MX0tUF97Mn09KFBfezF9LVBfezJ9KShQX3sxfS1QX3syfSk9UF97MX1eezJ9LVBfezF9UF97%0D%0AMn0tUF97Mn1QX3sxfStQX3syfV57Mn09UF97MX0rUF97Mn0%3D
       从而必有P2=0