设H为Hilbert空间 P1 P2为H上的正交投影。求证: (a)P1P2为正交投影当且仅当P1P2=P2P1 (b)P1+P2为正交投影
正交,空间
已帮助 人
设H为Hilbert空间,P1,P2为H上的正交投影。求证:
(a)P1P2为正交投影当且仅当P1P2=P2P1
(b)P1+P2为正交投影当且仅当P1P2=0=P2P1
(c)P1+P2及P1-P2为正交投影当且仅当P2=0
-
(a)正交投影均为白伴的且为幂等的,故若P1P2为正交投影,则
反之。若P1P2=P2P1,则
=P2P1P2=P1P2P2=P1P2
因此P1P2为正交投影
(b)P1+P2为正交投影当且仅当
=P1+P1P2+P2P1+P2
因此P1+P2为正交投影当且仅当
P1P2+P2P1=0 (26)
若P1P2=0=P2P1,则这显然成立。反之假设(26)式成立,则在(26)式中左乘P2有
(27)
在(27)式中右乘P2有
,P2P1P2+P2P1P2=0
因此有P2P1P2=0。这个结果与(27)式一起可以推出P2P1=0。再由(26)式知P1P2=0。
(c)若P2=0,则P1+P2=P1=P1-P2显然为正交投影。反之,若P1+P2和P1-P2为正交投影,则由(b)知P1P2=0=P2P1。又
从而必有P2=0
